Кертис Фуллер родился в Детройте в Мичигане в 1934 году. Рос в сиротском приюте, в школе играл на валторне, саксофоне и скрипке, денег на частные уроки музыки у него не было, оттого он стал самоучкой, так что и тромбон освоил самостоятельно. В Дейтроте в его время выросло немало музыкальных джазовых талантов, к примеру Милт Джексон, Хэнк Джонс, Томми Фланаган, недавно приезжавший в Израиль пианист Кирк Лайтси, так что Кертис вслед за ними перебрался в Нью-Йорк после демобилизации из армии, где он прослужил два года, играя в военном оркестре с 1951 по 1953 год.